利用函數(shù)模型解決實際問題

?教學(xué)背景

模型思想和應(yīng)用意識主要是指有意識地利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解決實際問題；根據(jù)具體問題，抽象出數(shù)學(xué)問題，將問題中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系和變化規(guī)律用方程（組）、不等式、函數(shù)、幾何圖形、統(tǒng)計圖表等進行表示，求出并檢驗結(jié)果，驗證模型的合理性。

有效滲透數(shù)學(xué)模型思想，能夠幫助學(xué)生積淀從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程性經(jīng)驗，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)模型的建立過程，重視模型的應(yīng)用，提高學(xué)生解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力。本節(jié)課為復(fù)習(xí)課，　學(xué)生已經(jīng)在初二下學(xué)期和初三上學(xué)期學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，對于函數(shù)的研究具備一定經(jīng)驗，會應(yīng)用方程模型、不等式模型解決簡單的實際問題，具有初步的模型意識。

?教學(xué)實錄

環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè)

內(nèi)容：視頻資源學(xué)習(xí)

師：請大家自行觀看已經(jīng)下載的3個小視頻，并談一談自己的感受……誰愿意分享一下？

生1：視頻中都是我們?nèi)粘Ｉ钪械某Ｒ妴栴}。

生2：里面都蘊含了數(shù)學(xué)知識。

生3：數(shù)學(xué)在日常生活中有許多應(yīng)用。

師：大家總結(jié)得非常棒！我們的數(shù)學(xué)學(xué)科本就源自數(shù)千年前人們的生產(chǎn)實踐，自古以來就與人們的日常生活密不可分。今天，數(shù)學(xué)的應(yīng)用更是深入到社會的方方面面。這節(jié)課我們一起利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題，并總結(jié)方法和經(jīng)驗，現(xiàn)在請同學(xué)們打開學(xué)案。

環(huán)節(jié)2：自我構(gòu)建（1）：我來當老板

例1：已知某展板制作商生產(chǎn)了一種成本為20元/個的小展板，經(jīng)過調(diào)查，銷售單價和展板的每天銷售量之間滿足表1的關(guān)系。

問題解決（1）：當銷售單價定為多少時，每天獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？問題解決（2）：若市場規(guī)定此種小展板的銷售單價不能超過40元，則銷售單價定為多少時，每天獲得的總利潤最大，最大利潤為多少？問題解決（3）：若希望該展板每天的銷售利潤不低于5000元，試確定銷售單價的范圍。

師：假如你是展板制作商，請同學(xué)們對例1的第（1）問進行分析，通過對此實際問題的思考，你有什么樣的想法和解決思路？

生1：這道題問的是銷售利潤以及對應(yīng)的銷售單價，所以可以求這兩個量之間的關(guān)系。

生2：我們可以借助“函數(shù)”知識來解決。

師：非常好！你是怎么想到“函數(shù)”的呢？

生2：因為我看到了題目中的“銷售單價”和“每天的銷售量”是兩個變量，而“銷售利潤”可以用這兩個量表示，因此想到了我們之前學(xué)過的“二次函數(shù)”。

師：請大家根據(jù)這種思路嘗試解決第（1）問，并在組內(nèi)進行分享，請這位同學(xué)進行板書。

生2：首先我們根據(jù)問題，設(shè)銷售單價為x元，銷售利潤為y元。根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，我們可以求出每天的銷售量與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為a=-10x+800，則銷售利潤y=(x-20)(-10x+800)=-10x2+1000x-16000，我們可以發(fā)現(xiàn)這是一個二次函數(shù)，則可以利用“求二次函數(shù)最大值”的知識來求“銷售利潤的最大值”，第（1）問就解決了。

師：講解得非常有條理，誰還有什么補充嗎？

生3：我們在求每天的銷售量與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式的時候，要先判斷函數(shù)類型，再設(shè)解析式。

師：非常棒！那么老師的問題來了，大家有什么樣的方法判斷一組數(shù)據(jù)所滿足的函數(shù)類型？

生1：描點作圖是一條直線，所以滿足一次函數(shù)關(guān)系。

生4：觀察數(shù)據(jù)特點是線性增長的，所以猜想它們滿足一次函數(shù)關(guān)系。

師：特別好！還有其他補充嗎？

生3：我們在求出函數(shù)關(guān)系式之后，還需要關(guān)注自變量的取值范圍，因為這是實際問題。

師：提醒得非常關(guān)鍵。這樣的話，我們這個解決問題的過程才完整。下面，請大家繼續(xù)思考第（2）問和第（3）問。

生5：第（2）問規(guī)定了銷售單價不能超過40元，仍然求總利潤的最大值，相當于求當20

生6：第（3）問要求每天的銷售利潤不低于5000元，就相當于求當y≥5000時，x的取值范圍。我們可以先求當y=5000時所對應(yīng)的x值，再結(jié)合圖像確定x的取值范圍。

環(huán)節(jié)3：課堂小結(jié)

師：我們一起總結(jié)一下“利用函數(shù)模型解決實際問題”的一般步驟。

生1：當我們遇到的實際問題涉及兩個變量之間的關(guān)系時，可以考慮構(gòu)造函數(shù)模型進行解決。

生2：首先需要判斷函數(shù)類型，接下來設(shè)函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，我們就可以借助函數(shù)的圖像和性質(zhì)來進行問題解決了。

環(huán)節(jié)4：自我構(gòu)建（2）：我來當交警

例2：行駛中的汽車，在剎車之后由于慣性的作用，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停下來，這段距離稱為“剎車距離”。為了測定某種型號汽車的剎車性能（根據(jù)規(guī)定：車速不超過140千米/小時），對這種汽車進行測試，測得數(shù)據(jù)見表2。

問題解決（1）：若小王駕駛該型號的汽車剎車時速為70千米/小時，請你估計他的剎車距離為    ，估計理由為    。

問題解決（2）：已知該型號的汽車在國道上發(fā)生了一次交通事故，現(xiàn)場測得的剎車距離約為44米，請你判斷事故發(fā)生時，該汽車是否超速行駛？請進行合理的解釋。

師：如果你是交警，請根據(jù)在例1中收獲的經(jīng)驗，嘗試完成例2的分析和解決辦法。

生1：第（1）問可以根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)變化趨勢進行估計，分享估計的結(jié)果和理由。

生2：第（1）問也可以求出剎車距離與剎車時速之間的函數(shù)關(guān)系式，然后再進行求解，分享估計的結(jié)果和理由。

師：很好。類似于第（1）問這樣的問題，我們可以直接根據(jù)數(shù)據(jù)的變化趨勢進行合理預(yù)測，考查我們數(shù)據(jù)分析的觀念。那么第（2）問呢？

生3：由于第（2）問直接從表格中的數(shù)據(jù)進行推斷比較困難，所以我們可以借助函數(shù)模型進行求解。

生4：通過描點作圖，發(fā)現(xiàn)兩個變量近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，我們可以借助二次函數(shù)的知識進行解決和判斷。

師：通過同學(xué)們的分析，能夠看到大家已經(jīng)基本掌握了“利用函數(shù)模型解決實際問題”的一般步驟。下面請大家思考：題中給出的這兩個變量一定是滿足我們所求的函數(shù)關(guān)系嗎？我們求出的結(jié)果是精確的嗎？

生5：兩個變量所滿足的函數(shù)關(guān)系不一定是唯一的，我們給出的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該是一種合理的猜想。

師：非常好！我們可以體會到“近似”與“精確”的相對統(tǒng)一。另外，在一些問題中，我們還需要將建立的模型得出的結(jié)果進行驗證和取舍。

［分析］環(huán)節(jié)4屬于方法的驗證。通過對例1的充分思考、交流，提出了研究問題的方法，利用例2來驗證這種方法的科學(xué)性；通過例1和例2兩種不同函數(shù)模型的建立，更深入地理解“函數(shù)”的本質(zhì)；通過例2對這種建模方式進行更深入的探討，感受“近似”與“精確”的相對統(tǒng)一。

環(huán)節(jié)5：思維拓展：我是節(jié)約小能手

例3……

師：請同學(xué)們閱讀例3給出的材料，并分析與例1、例2的異同……

環(huán)節(jié)6：課堂總結(jié)

師：請同學(xué)們首先完成課堂反饋小測，然后打開電腦，進入UMU平臺，填寫本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲和總結(jié)。

反饋小測：當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（單位：kPa）與氣體體積V（單位：m³）的關(guān)系如表3所示。

請判斷當P=6kPa時，V=      。

UMU平臺反饋：我們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，對解決實際問題有什么樣的收獲？

［分析］讓學(xué)生自己總結(jié)一節(jié)課的收獲，真正體現(xiàn)出學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，同時也讓教師對本節(jié)課的教學(xué)進行反思。另外，學(xué)生可以通過UMU平臺看到其他人的總結(jié)，相互學(xué)習(xí)。

?教學(xué)反思

縱觀近兩年北京市中考，數(shù)學(xué)有幾大特點：以學(xué)習(xí)過程為載體，考查解決實際問題過程中對所學(xué)知識、方法的理解和應(yīng)用，對數(shù)學(xué)思想的感悟與認知；體現(xiàn)“問題”意識，將發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的考查與分析、解決問題能力并重，從而將“學(xué)數(shù)學(xué)”與“用數(shù)學(xué)”緊密結(jié)合在一起。

本節(jié)課是初三年級的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，旨在引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)模型解決實際問題。因此教學(xué)設(shè)計非常貼近實際生活，如利潤問題、交通問題。在教學(xué)方面主要采用啟發(fā)引導(dǎo)、分享交流的形式，并將“1對1學(xué)習(xí)技術(shù)”融合到課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中，提升了課堂效率。

本節(jié)課基本達成了預(yù)設(shè)的目標，學(xué)生們體會并熟悉了這類問題的解題思路，但也有一些不足，比如教學(xué)內(nèi)容偏多，學(xué)生獨立思考時間較少；反饋環(huán)節(jié)倉促，學(xué)生未能充分總結(jié)和分享收獲等。隨后的教學(xué)中，這些問題還需要進一步調(diào)整改進，更大限度地體現(xiàn)學(xué)生主體，讓課堂在新技術(shù)助力下更開放、更高效。

（作者單位系中國人民大學(xué)附屬中學(xué)西山學(xué)校）

《中國教師報》2019年03月06日第5版