科學認識和培養(yǎng)小學生代數(shù)思維

發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)是數(shù)學學習的核心價值，數(shù)學思維是數(shù)學素養(yǎng)的集中體現(xiàn)。但是，在小學中低年級，算術(shù)思維教學和培養(yǎng)占主導地位，代數(shù)思維的培養(yǎng)和滲透尚未引起應有的重視。

代數(shù)思維的價值和意義

全球視域內(nèi)，從美國“大眾代數(shù)”“早期代數(shù)”等理念到國際數(shù)學教育委員會在“代數(shù)教學的未來”會議上正式成立“早期代數(shù)工作組”，標志著“早期代數(shù)思維”培養(yǎng)正式成為國際數(shù)學教育研究的一個重要領(lǐng)域，在小學階段發(fā)展學生的代數(shù)思維已經(jīng)成為全球共識。

代數(shù)思維培養(yǎng)指向數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模三個數(shù)學基本思想。第一，代數(shù)思維的基本特征是用符號表示，而符號是在數(shù)的基礎(chǔ)上進一步抽象的結(jié)果。第二，代數(shù)是一種形式的符號操作，這種操作是一種基于規(guī)則的推理。第三，代數(shù)思維主要表現(xiàn)為利用符號系統(tǒng)表征研究對象的結(jié)構(gòu)與關(guān)系，其本質(zhì)是數(shù)學建模。因此，培養(yǎng)學生的代數(shù)思維既能打開學生抽象思維的大門，也能為邏輯推理提供工具，為學生使用數(shù)學的語言表達意圖奠定基礎(chǔ)。此外，代數(shù)思維也日益成為歷史學、科學、經(jīng)濟學、工程學、計算機科學、商業(yè)以及日常生活的重要內(nèi)容。

    代數(shù)思維培養(yǎng)的誤區(qū)

綜合已有研究以及當下實踐，在小學生代數(shù)思維培養(yǎng)上存在兩種錯誤認識：

一是有人認為代數(shù)思維可在學生認知發(fā)展基礎(chǔ)上自然成長，隨著年齡的增長、大腦的發(fā)育以及認知水平的提高，代數(shù)思維會自然而然地得到應有的發(fā)展，不需外在過多關(guān)注和干預。但從本質(zhì)來看，算術(shù)是數(shù)的運算，代數(shù)則是符號的運算。事實證明，從算術(shù)到代數(shù)的轉(zhuǎn)換對學生來說是困難的，學生需年齡較小時就有機會從事代數(shù)推理，自小學起就應該滲透和培養(yǎng)代數(shù)思維的習慣。

二是有人認為算術(shù)思維是代數(shù)思維發(fā)展的前提基礎(chǔ)，認為代數(shù)思維必須建立在小學階段培養(yǎng)的計數(shù)和計算能力、幾何推理以及測量技能等概念上。但是，教師在引導學生理解和應用相關(guān)概念解決問題的過程中，往往忽略了對問題中的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的關(guān)注，卻更加強調(diào)結(jié)果的正確性。為了獲取問題的答案，學生也把注意力更多地放在對具體數(shù)的操作和思考上，而忽視了對現(xiàn)實問題中蘊含的結(jié)構(gòu)和關(guān)系的把握與探討。

以上兩種錯誤認識，導致了教學實踐中算術(shù)教學與代數(shù)教學的割裂和分離。通常認為，算術(shù)是小學數(shù)學的重中之重，代數(shù)是中學數(shù)學的重中之重。大多數(shù)學校的數(shù)學課程將算術(shù)和代數(shù)分開，這種分離使很多學生在中高年級時學習代數(shù)更加困難。

    如何培養(yǎng)小學生代數(shù)思維

如何發(fā)展小學生的代數(shù)思維？不妨從以下四個方面入手。

一是科學認識小學生代數(shù)思維的本質(zhì)及其發(fā)展規(guī)律。

代數(shù)思維的顯著特征是符號語言的運用，符號是數(shù)學思維和數(shù)學推理的基本要素。代數(shù)思維的培養(yǎng)并非是經(jīng)歷足夠多的練習便可跨越的量變過程，而是必須經(jīng)歷從數(shù)到代數(shù)的抽象、運算和建模等結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換才能實現(xiàn)的質(zhì)變過程，其重要標志是從等號程序觀念到等號關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變。算術(shù)思維與代數(shù)思維之間并不是截然分開的。在算術(shù)思維的學習過程中，應該充分利用教材中的素材，適時創(chuàng)造條件和機會引導學生向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變。代數(shù)的解釋方法也可以用于算術(shù)式的解釋。例如，表達式“3+4”不僅可以理解為計算過程的描述，還可以理解為數(shù)字的符號，進而關(guān)注其結(jié)構(gòu)特征，即3個和4個各種不同東西匯集在一起的統(tǒng)一符號模型，學生建立起這樣的意識和認識需要不斷地思考和積累。算術(shù)思維好并不預示著代數(shù)思維一定強。算術(shù)思維可以說是代數(shù)思維的基礎(chǔ)，運算本身就是邏輯推理的過程，但并不意味著一定要經(jīng)過反復練習夯實好算術(shù)思維之后才可以接觸和學習代數(shù)，而應該在算術(shù)的練習和強化過程中適時引入代數(shù)思維的傾向和體驗，讓學生充分感知代數(shù)思維的魅力和價值。

二是深入分析小學生代數(shù)思維發(fā)展的外在表現(xiàn)和內(nèi)在機制。小學生代數(shù)思維發(fā)展不足的主要表現(xiàn)是只要看見式子就想算出結(jié)果，將其視為因果關(guān)系，等號左邊是因，右邊是果，很難將等號兩側(cè)的內(nèi)容看作等價關(guān)系；另外，在方程學習過程中難以理解方程的價值和意義，不能將方程視為解決一類問題的模型，而只是作為一個解決問題的工具，為了用方程而用方程，不懂方程的本質(zhì)和內(nèi)涵。

根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論，小學生（7—12歲）正處于具體運算階段，正值形象思維向抽象思維過渡的階段，其對事物的理解與認識更多依托于具體情境，該階段的兒童更適合事實性、技能性的學習內(nèi)容的習得。代數(shù)是對算術(shù)進一步的抽象，代數(shù)的學習需要更多抽象思維的參與，因此小學生代數(shù)思維意識和能力不強，需要教師不斷地引導和強化，保證學生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的順利過渡。

三是充分利用教材中的顯性和隱性代數(shù)思維培養(yǎng)載體。從顯性內(nèi)容來看，小學階段的代數(shù)初步知識包括式與方程、正比例和反比例。式與方程包括用字母表示數(shù)和簡易方程?！白帜副硎緮?shù)”的學習標志著小學生正式進入代數(shù)的學習，開始從對“數(shù)量”的理解更多地轉(zhuǎn)向?qū)Α瓣P(guān)系”的探討。在講授這些相關(guān)內(nèi)容時，教師要通過多種途徑、多元刺激和多方引導，幫助學生從關(guān)注數(shù)量到關(guān)注關(guān)系，從關(guān)注獲取結(jié)果到關(guān)注結(jié)構(gòu)特征，從關(guān)注直接的數(shù)到關(guān)注表示數(shù)的各種符號，從關(guān)注特殊到關(guān)注一般。學生要經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象為方程的過程，積累將現(xiàn)實問題數(shù)學化的經(jīng)驗，會用方程解決簡單問題，進一步理解等量關(guān)系，不斷增強代數(shù)思維能力。此外，還有各種運算律，這類內(nèi)容的教學不僅僅是教會學生記住和應用各種運算律，而是重視運算律獲得的過程，以及對運算律意義的理解，進而讓學生感知等量關(guān)系。從隱性內(nèi)容來看，教材中也蘊含著很多培養(yǎng)學生代數(shù)思維的設(shè)計和安排，關(guān)鍵看教師能否充分利用這些內(nèi)容去啟發(fā)、引導學生關(guān)注等價關(guān)系與結(jié)構(gòu)特征，突破算術(shù)思維定式，逐步形成代數(shù)思維習慣。

四是創(chuàng)造多元機會，幫助學生從算術(shù)思維逐漸向代數(shù)思維過渡。關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維是代數(shù)思維的重要特征。要關(guān)注學生關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維及其應用，順應并引導學生思維。學生利用算術(shù)思維解決問題同樣需要利用基本數(shù)量關(guān)系，在遇到逆向思維問題時，學生需要通過正向結(jié)構(gòu)推導出逆向結(jié)構(gòu)，然后利用逆向結(jié)構(gòu)算出結(jié)果。這個過程是學生利用關(guān)系進行轉(zhuǎn)化的過程，不但可以訓練學生的逆向思維，還可以幫學生積累對數(shù)學結(jié)構(gòu)進行操作的經(jīng)驗。教師要充分關(guān)注這種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化的價值，發(fā)展學生的關(guān)系性思維。要鼓勵學生運用方程解決問題。方程是小學代數(shù)初步的核心內(nèi)容，教師要通過不同的問題載體幫助學生感知和體驗數(shù)量關(guān)系建模的過程和意義，幫助學生養(yǎng)成應用方程的習慣，提高學生運用方程解決問題的能力。

（作者單位：北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學）

《中國教育報》2020年06月18日第12版