走進奇妙的三角形世界

?教學背景

學生學習數(shù)學概念一般要經(jīng)過從具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡。在教學中，教師要盡可能聯(lián)系學生的生活經(jīng)驗和前概念知識，運用各種直觀因素，讓學生借助充分的感性材料，發(fā)現(xiàn)、總結(jié)一類事物的一般特征和本質(zhì)特征，從而輔助其建構(gòu)抽象的數(shù)學概念。學生在一年級下冊的學習中已經(jīng)認識過三角形，也通過四年級上冊的學習知道垂直的概念和平行四邊形、梯形的高。人教版數(shù)學四年級下冊《三角形的認識》一課著重通過“操作—辨析—共識—判斷”的課堂形式，引導學生進行數(shù)學概念建構(gòu)，深刻理解概念的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象、轉(zhuǎn)化思想等核心素養(yǎng)內(nèi)涵。

?課堂實錄

情境導入

師：首先我們來欣賞一組圖片，仔細觀察你能從圖片中看到三角形嗎？

（出示圖片：古埃及的金字塔、現(xiàn)代的建筑物、起重機、巨大的鋼架橋）

生1：金字塔的外面是三角形，高架橋中有許多三角形。

生2：建筑物的屋頂是三角形，起重機固定的支架是三角形。

師：原來生活中存在著這么多三角形，今天我們就一起來學習三角形。

三角形的概念

師（板書“三角形的認識”）：看到三角形三個字，你想研究三角形的哪些內(nèi)容？

生1：三角形有哪些特征？

生2：什么樣的圖形叫作三角形？

生3：三角形的高指的是什么？

師：同學們提的問題非常有價值！現(xiàn)在我們就先來解決什么是三角形，請大家用小棒拼一拼或者在本子上畫一畫，創(chuàng)造一個三角形吧！

（學生動手“創(chuàng)造”三角形）

師：現(xiàn)在請一個小老師介紹一下自己是如何創(chuàng)造三角形的。

生1：我將3根小棒連起來拼成了一個三角形。

生2：我在本子上畫了3條連起來的線段，就畫好三角形了。

師：不管拼一拼還是畫一畫，我們都用到了什么？

生（齊答）：3條線段。

師：那么大家觀察一下，本來每條線段有2個端點，3條線段應(yīng)該有6個端點，但為什么大家創(chuàng)造的三角形只有3個端點了呢？

生3：因為每相鄰兩條線段的端點相連。

師：現(xiàn)在你能結(jié)合剛才創(chuàng)造三角形的過程說一說什么是三角形嗎？

生4：三條線段組成的圖形叫做三角形。

生5：我覺得除了三條線段，這三條線段還必須首尾相連圍成。

師：說得很好，像這樣三條線段圍成的圖形叫作三角形。

師（課件演示）：在課前做的練習中，我們也一起判斷了什么樣的圖形是三角形，老師對同學們的判斷結(jié)果做了一個統(tǒng)計，請看大屏幕?，F(xiàn)在你能運用剛學的知識來解決一下嗎（見上圖）？

師：最后一個圖形有這么多人發(fā)生分歧，現(xiàn)在你更支持哪個觀點？為什么？

生6：最后一個圖形的三條線段沒有首尾相連圍成，所以不是三角形……

師：認識了三角形后，誰愿意根據(jù)自學成果分享一下自己標注出的三角形各部分的名稱。

生7：三角形有三個頂點、三條邊、三個角。

生8：三角形還可以用字母來表示，“△ABC”。

生9：三角形還有“高”和“底”。

三角形的高

師：同學們在自學過程中都提到了三角形的高，老師這里有一個三角形，它的高在哪里？誰能指一指？

生1（邊說邊比劃）：三角形的中間畫一條垂直的線。

生2：從三角形的頂點到一條邊垂直。

師：那就請同學們嘗試著畫出三角形的高，想一想，你準備怎么畫，用什么工具？

生1：量角器。

生2：三角尺。

（學生上黑板展示畫高的過程）

師：這位同學畫高的過程介紹非常完整……老師也將畫三角形高的方法做成了一個微課，我們一起來欣賞一下：先找準三角形的頂點A和對邊BC，用三角尺的一條直角邊與三角形的一條邊重合，另一條直角邊慢慢平移到頂點，然后畫一條垂直線段，作上直角標志，AD就是三角形的高，高一般畫成虛線，BC就是三角形的底。

師：同學們，看清楚了嗎？你能將我們剛才介紹的畫高方法用簡短的話語歸納一下嗎？

生3：重合底與一條直角邊，移動量角器重合頂點與另一條直角邊，畫一條垂直線段，標上直角標志。

生4：一合二移三畫四標。

師：這個畫高的方法有沒有給你一種似曾相識的感覺，我們在前面學習哪個知識中也用到過？

生5：畫垂線段。

生6：過直線外一點作這條直線的垂直線段。

師：按照這個方法，給它再圍上兩條線段就變成了畫三角形的高了。

生7：原來我們學習的知識之間竟然有這么神奇的聯(lián)系！

師：結(jié)合剛才畫高的過程，同桌交流一下什么是三角形的高。

生8：從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對邊叫作三角形的底。

生9：我覺得三角形的頂點到它的對邊的垂直線段就是三角形的高。

師：現(xiàn)在我將這個三角形旋轉(zhuǎn)了一下，你還能找到BC底邊上的高嗎？

生10：我在心中去掉了AB和AC兩條邊，就跟過直線外一點畫這條直線的垂線方法一樣。

師：那如果我再旋轉(zhuǎn)一下，你還能找到嗎？

生11：還是找到頂點A，向?qū)呑饕粭l垂直線段。

師：通過這幾次三角形的位置變化，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生12：不管三角形的位置怎么變，只要從頂點A向?qū)匓C作一條垂直線段，就是三角形的高。

生13：不管三角形位置如何擺放，只要是從三角形的頂點出發(fā)，向?qū)呑鞯倪@條垂直線段就是三角形的高……

師：我們找到了BC邊上的高，那你覺得這個三角形只有這一條高嗎？先思考一下。

生14：我認為是1條。

生15：不對，我認為有3條，3條邊就有3條。

生16：我想補充，因為三角形有3個頂點和3條對邊，從一個頂點就能向?qū)呑饕粭l高，所以三角形就有3條高。

師（課件補充完整3組高和底）：現(xiàn)在有了這么多的高和底，你還分得清哪條高和底相對應(yīng)嗎？

生17：高和底是一組一組地出現(xiàn)的，一條底對應(yīng)著一條高。

師：那就請你畫出練習紙中指定邊上的高吧。（故意地）我找不到這個直角三角形的高在哪里！

生18：直角三角形的一條直角邊是底，另外一條直角邊是它對應(yīng)的高。

師：這個鈍角三角形的高在哪里呢？

生19：它的高只要任意畫一條垂直線段就好了。

生20：不對，這條底的高應(yīng)該從對面的頂點出發(fā)作它的垂直線段，只是這條高“跑”到三角形的外面去了。

師：你形容得真貼切！

感悟特殊的高

師：同學們，真了不起，我們都能順利地找到三角形中的高了。請同學們仔細看，老師這里還有一個三角形，我把這個三角形放在兩條平行線之間，現(xiàn)在如果讓這個頂點A沿著這條平行線跑動，請同學們想象一下，會發(fā)生什么情況？

生1：三角形的形狀會發(fā)生變化。

生2：三角形的面積變了。

生3：三角形的高會左右移動，有可能會跑到外面去。

師：和你們的猜測一樣嗎？現(xiàn)在我要慢慢移動頂點，請你們仔細觀察三角形的高，它的位置發(fā)生了什么變化嗎？高從外面到里面會經(jīng)過哪個地方？

生4：原來三角形的高不僅可以在三角形的里面，還可以在三角形的外面。

生5：三角形的高有時還會和它的一條邊重合。

生6：三角形的底不變，高的位置會隨著頂點的位置變化而變化。

（關(guān)于三角形的研究繼續(xù)深入下去）……

?課后反思

著手起點：在備課之前，我對本校四年級學生進行過三角形概念的前測，發(fā)現(xiàn)大部分學生都是從三角形的組成和特性去定義三角形的概念，缺乏合乎邏輯地對三角形的概念進行定義。教材中是采用發(fā)生式定義方式介紹三角形的概念，而學生沒有經(jīng)歷過概念定義的發(fā)生過程，自然無法形成正確的三角形概念定義。因此在教學中，我特別重視三角形概念的發(fā)生過程，通過拼一拼、畫一畫三角形等數(shù)學活動，讓學生在操作感悟中得出三角形概念的定義，實現(xiàn)概念的有效建構(gòu)。

著力難點：學生在形成三角形高概念的過程中容易受到非本質(zhì)屬性的影響，因此需要教師通過教學行為，引導學生對概念本質(zhì)的關(guān)注，凸顯數(shù)學概念的本質(zhì)內(nèi)涵。所以課堂中我先讓學生在頭腦中想象三角形高的形成過程，然后經(jīng)過三角形不斷旋轉(zhuǎn)，讓學生認識到無論三角形的位置如何變化，高就是從頂點出發(fā)到對邊的一條垂線段，真正厘清三角形高的本質(zhì)，從而建立三角形高的概念。隨后借助幾何畫板移動，讓學生直觀地看到三角形頂點和高是同步移動的，從而認識和感知特殊的高。

著眼結(jié)點：三角形高的理解掌握過程需要對三角形“三條邊、三個頂點、三個角”的基本特征與“高”的概念之間建立相應(yīng)的聯(lián)系，并認識到與其他圖形不同，三角形的高需要畫在三個特定的位置，故三角形的“底”和“高”規(guī)定為3組，這樣就能形成知識的整體性，最終形成完整的概念建構(gòu)。而三角形的高的前概念就是四年級畫垂線，這就需要教師在教學中有意識地將畫三角形高這個新概念納入到學生已有的概念結(jié)構(gòu)中。教學中，我將畫垂線與畫高方法的結(jié)合，就更好地將學生所學的“概念點”織成“概念網(wǎng)”，構(gòu)建出畫高的模型。

（作者單位系浙江省寧波市北侖區(qū)小港實驗學校）

《中國教師報》2019年05月15日第5版